UN COLOSSALE PAREGGIO

L’astronomo credente va a nozze con gli universi che hanno un inizio, in questi casi è lesto a tirare fuori l’argomento della “causa prima” e trovare un conforto “scientifico” per la sua fede. Tra big bang e argomento antropico gli indizi di un “inizio” non mancano, anche se l’astronomo ateo non tace di certo e risponde colpo su colpo parlando di conservazione dell’energia, salti quantici e rimbalzi entropici, al che il primo si scatena con i cervelli di Botzmann e gli hotel di Hilbert. In casi del genere è facile fare notte. Ma questo è un film già visto, qui vorrei occuparmi degli universi che esistono da sempre, ciclici o non ciclici poco importa.

In questi casi il teista ipotizza che l’universo eterno sia comunque “sostenuto” da una causa divina mentre l’ateo risponde con il regresso infinito di cause. Quale spiegazione preferire?

Mi concentro sulla teoria preferita dagli atei e faccio un paio di analogie:

1) Teoria omuncolare della percezione. In questa teoria si sostiene che per una persona “vedere” significa produrre un’immagine interna che viene poi vista da una “personcina” che abita il suo cervello. Ma questo ancora non ci dice in cosa consista il “vedere” poiché occorre ipotizzare un omuncolo ancora più minuto all’interno del cervello del primo omuncolo, e così via all’infinito.

2) Teoria cosmologica dei colossi. Sappiamo che le cose tendono a cadere. Ma perché l’universo non cade? Teoria: perché è sostenuto da un colosso. E perché il colosso non cade? Perché è sostenuto da un altro colosso! E via così all’infinito.

Le due teorie non sembrano molto convincenti – ovviamente lasciamo perdere il merito ridicolo – cosicché i teisti hanno tentato di assimilarle formalmente alla teoria del regresso infinito delle cause: proprio come i regressi delle teorie 1 e 2 spiegano poco, anche il regresso delle cause – per quanto reso più credibile nel merito dalla moderna cosmologia – ha una capacità esplicativa difettosa.

L’osservazione non è peregrina ma c’è qualcosa che non torna.

Innanzitutto l’analogia con l’omuncolo non sembra pertinente poiché in quel caso si intende spiegare “cosa sia la visione umana”, la teoria del regresso causale non ha lo scopo di spiegare “cosa sia l’universo” ma solo giustificare la sua presenza. In questo senso è più simile alla teoria 2.

Ma anche la teoria 2 è difettosa: spiega perché l’universo non cade ma non spiega perché non cadono i colossi. Questo difetto lo ritroviamo pari pari nella teoria del regresso causale poiché viene giustificata la presenza dell’universo ma non della serie di cause che lo ha generato.

In altri termini, la teoria giustifica l’universo ma non ci dice perché esiste. Perché esiste qualcosa anziché niente?

E’ un difetto grave? Sì, ma solo se esiste un’alternativa migliore. Sembrerebbe che non esista visto che anche l’ipotesi di Dio giustifica l’universo ma non ci dice perché Dio esiste anziché no. In realtà alcuni filosofi hanno provato a dirlo finendo nella circolarità dell’argomento ontologico.

Io concluderei salomonicamente che il confronto sul potere esplicativo dell’argomento cosmologico e della regressione debba finire con un onorevole pareggio.

VOTA:

SEVERINO, SPIEGATI!

Riccardo Mariani

Adesso · 

SEVERINO, SPIEGATI!

Emanuele Severino, per molti il nostro massimo filosofo, è assurto a notorietà per aver negato l'esistenza del tempo in TV gettando tutti nello sconforto e nella meraviglia. In realtà chi ha fato il liceo ci assicura che ha illustri predecessori. Il problema, semmai, è trovarne uno che l'abbia fatto in modo chiaro, ovvero analitico.

Forse l'ho trovato: J.M.E. McTaggart.

Vediamo come vede le cose il McTaggart. Gli eventi nel tempo possono essere passati, presenti o futuri, dove queste proprietà si intendono reciprocamente esclusive. Ora considera un evento "e". Prima che si verifichi "e" è nel futuro. Mentre sta accadendo è nel presente. Dopo che si verifica è nel passato. Pertanto, "e" è sia nel futuro che nel presente che nel passato. Ma questo è contraddittorio, poiché, come abbiamo detto, gli attributi di passato, presente e futuro si escludono a vicenda. Ergo: il tempo non esiste.

Come se ne esce? Per esempio così: supponiamo che l'evento sia la scrittura di questo post: ora è nel presente, ieri era nel futuro e domani sarà nel passato. Nulla può avere proprietà incompatibili contemporaneamente; tuttavia, non c'è contraddizione nel fatto che una cosa abbia proprietà incompatibili in momenti diversi.

McTaggart risponde che l'obiezione implica l'introduzione di una seconda serie temporale. La serie temporale originale prevedeva "eventi ordinari" che possono verificarsi nel passato, nel presente e nel futuro. La seconda serie temporale, invece, coinvolge "eventi passati" che si verificano nel passato, "eventi presenti" che si verificano nel presente ed "eventi futuri" che si verificano nel futuro. Ma l'impertinente considerazione di McTaggart può essere sollevata nuovamente per questa seconda serie: la presenza stessa di "e", tanto per dire, ha la proprietà di poter essere passata, presente e futura. Ancora una volta, queste sono proprietà incompatibili, quindi torna la contraddizione. Inutile dire che la replica a questa risposta di McTaggart sarebbe simile alla precedente e la discussione si inabisserebbe in un regresso infinito.

Ma la presenza del regresso infinito a chi dà rgione? A chi afferma o a chi nega l'esistenza del tempo?

Il regresso infinito, non spiegando nulla, dà ragione a chi non deve spiegare nulla. E' McTaggart (con Severino) che deve spiegarci la bizzarra affermazione per cui il tempo non esisterebbe!

Mc Taggart potrebbe rispondere che siamo noi a dover spiegare le contraddizioni che si creano postulando l'esistenza del tempo. Qui occorre chiarire un punto che abbiamo dato per scontato: il principio di non contraddizione.

Ammettiamo che il principio di non contraddizione sia questo: nulla al mondo può avere due o più proprietà incompatibili contemporaneamente. In questo caso utilizzare il regresso è legittimo per gli oppositori di Mc Taggart poiché non c'è nessuna contraddizione che devono spiegare.

Ma ammettiamo che il principio di non contraddizione fosse: nulla al mondo può avere due o più proprietà incompatibili, indipendentemente dal fatto che siano possedute contemporaneamente o in momenti diversi. In questo caso il ricorso al regresso è vano, ma per fortuna non ce n'è bisogno visto che basta rigettare questa strana versione del principio di contraddizione per mettersi al sicuro dalle bizzarrie filosofiche.

Mi piace

DIO HA CREATO IL TEMPO?

DIO HA CREATO IL TEMPO?

Non credo. E’ pur vero che alcuni modelli cosmologici prevedono un inizio del tempo, ma io che non sono un cosmologo e francamente non riesco a interpretarli.

Per la maggior parte dei teisti Dio ha creato l’universo in un certo “momento”. Ma quel “momento” me lo immagino come gli altri: con un prima e con un dopo. C’è stato un tempo in cui l’universo non esisteva e un tempo in cui esisteva. L’esistenza del tempo mi sembra compatibile con l’esistenza del nulla.

Attenzione, non voglio dire che pensare al tempo come a una creazione divina sia contraddittorio, dico solo che la cosa non si riesce a immaginare. I filosofi hanno un’espressione per definire l’inimmaginabile: “metafisicamente impossibile”.

9 Numbers

9 Numbers
Note:9@@@@@@@@

Yellow highlight | Location: 2,500

9.1   Cardinal numbers as properties
Note:Ttttttt

Yellow highlight | Location: 2,501

what is a number?
Note:IN CERCA DI TEORIE ALTERNATIVE

Yellow highlight | Location: 2,502

A cardinal number is a kind of property.1 These properties are best ‘defined ostensively’, that is, by giving examples.
Note:DEF...SI PARTE DA ESEMPI

Yellow highlight | Location: 2,504

I would show them something like Figure 9.1. In that picture, there are two stars, two hexagons, and two lightning bolts.
Note:COME INSEGNARE IL NUMERO 2

Yellow highlight | Location: 2,507

It is no coincidence that this is how children are actually taught
Note:BAMBINI

Yellow highlight | Location: 2,508

The ontological status of the number two is thus the same as that of other universals,
Note:ONTOLOGIA

Yellow highlight | Location: 2,512

9.2   Frege’s objection
Note:Ttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,514

the same concrete thing can be said to instantiate different numbers. Suppose you have a deck of cards. What is the number that it instantiates? Well, it is one deck, but it is fifty-two cards.
Note:OBIEZIONE DEL MAZZO DI CARTE

Yellow highlight | Location: 2,517

Therefore, number is not a property of a concrete object, such as the deck of cards. Instead, Frege proposes, numbers must be properties of ‘concepts’

Note | Location: 2,517

SOLUZIONE FREGE...OB IDWALISTA...ACCETFABILW IMO

Yellow highlight | Location: 2,519

we resolve the puzzle of the deck of cards by saying that there are two distinct concepts: the concept ‘deck’ (or maybe, ‘deck that is on this table now’) and the concept ‘card’ (or, ‘card that is on this table now’),
Note:SOLUZIONE

Yellow highlight | Location: 2,521

Cantor and Russell, on the other hand, would ditch the talk of concepts and say that there are two distinct sets:
Note:SOLUZIONE RUSSELL

Yellow highlight | Location: 2,525

Each number is a property of a concrete particular
Note:L ASSUNTO CONSIDERATO DA FREGE

Yellow highlight | Location: 2,530

there is only one number that is capable of being a property of a concrete particular, and that is the number 1. It is logically impossible, for example, for the number 2 to be a property of a concrete object; the number 2 can only be a property of two concrete objects.
Note:L ASSUNTO CORRETTO E IMPERMEABILE ALLA CRITICA DI FREGE

Yellow highlight | Location: 2,537

it is not that twoness applies to the set {a,b};
Note:CccccccccFACCIAMO A MENO DEGLI INSIEMI

Yellow highlight | Location: 2,549

If we’re talking about the aggregate of the cards, that instantiates the number 1.
Note:QUINDI

Yellow highlight | Location: 2,552

9.3   Arithmetical operations
Note:Tttttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,553

‘Two apples plus three apples make five apples’ means something like this: if you have two apples, and you also have three more apples (that is, three that are each different from either of the original two), then you have five apples.
Note:ADDIZIONE....E COSÌ LE ALTRE

Yellow highlight | Location: 2,563

It is not, for example, a matter of bringing the apples into spatial proximity.
Note:L OPERAZIONE NN È FISICA

Yellow highlight | Location: 2,566

Adding two apples to three apples is solely a matter of considering two apples and, without making any changes to any of the apples, considering an additional three apples,
Note:OPERAZIONE MENTALE

Yellow highlight | Location: 2,567

There is not even any passage of time assumed:
Note:TEMPO

Yellow highlight | Location: 2,570

This is why arithmetical statements are necessary and knowable a priori.
Note:A PRIORI

Yellow highlight | Location: 2,571

9.4   The laws of arithmetic
Note:Tttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,573

a+b = b+a    (Commutative Law of Addition)
Note:LA PIÙ FAMOSA DELLA LEGGI

Yellow highlight | Location: 2,579

Why do these hold, and how do we know them? In essence, the reason why (a + b) is equal to (b + a) is that the expressions ‘(a + b)’ and ‘(b + a)’ are synonymous:
Note:SINONIMIA

Yellow highlight | Location: 2,608

9.5   Zero
Note:Tttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,610

If the number n is instantiated by n things, then the number zero must be instantiated by zero things. But there cannot be a property that,
Note:OBIEZIONE

Yellow highlight | Location: 2,612

Reply: zero is not the same kind of thing as one, two, three, and so on.
Note:RISPOSTA

Yellow highlight | Location: 2,613

zero is not a number.
Note:INFATTI

Yellow highlight | Location: 2,616

if I have zero cookies, I should not say, ‘I have a number of cookies’;
Note:SENSO COMUNE

Yellow highlight | Location: 2,617

It is no coincidence that the concept of zero has a quite different history
Note:INFATTI

Yellow highlight | Location: 2,633

Objection: ‘But we can do arithmetical operations using zero. How could that be, if zero is not a true number,
Note:OBIEZIONE

Yellow highlight | Location: 2,635

When we decide to extend the number system by including zero, we define arithmetical operations for zero in such a way as to keep the whole system coherent.
Note:RISPOSTA...SEMPLIFICAZIONE

Yellow highlight | Location: 2,641

Famously, there is one case in which we do not define the arithmetical operations for zero, namely, the case of division.
Note:E LE ECCEZIONI NN MANCANO...A RIBADIRE CHE...

Yellow highlight | Location: 2,648

what is the referent of ‘0’ in its noun usage?

Note | Location: 2,649

LA DOMANDA CHE RESTA

Yellow highlight | Location: 2,649

The answer is that the symbol does not require a referent to be meaningful. In the same way that the noun ‘nothing’ lacks a referent,
Note:RISPISTA

Yellow highlight | Location: 2,653

The point is simply that ‘zero’ functions differently in some important ways from ‘one’, ‘two’,
Note:NN SI TRATTA DI VOLER ESPELLERE LO ZERI DAI NUMER

Yellow highlight | Location: 2,655

9.6   A digression on large numbers
Note:Ttttttt

Yellow highlight | Location: 2,663

there are about 1080 atoms in the observable universe;
Note:STENOGRAFIA

Yellow highlight | Location: 2,665

Now we can define another operation known as ‘tetration’, symbolized by ‘↑↑’, to represent repeated exponentiation.
Note:X È UN RIPETUTO + E ESP È UN RIPETUTO X

Yellow highlight | Location: 2,671

After that, there is the operation of pentation (symbolized by ‘↑↑↑’), which is repeated tetration.
Note:OLTRE

Yellow highlight | Location: 2,707

9.7   Magnitudes and real numbers
Note:Ttttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,708

9.7.1   Magnitudes vs. numbers
Note:Tttttttt

Yellow highlight | Location: 2,709

The concept of magnitude is probably undefinable,
Note:OCCORRONO ESEMPI

Yellow highlight | Location: 2,710

the height of the Eiffel Tower, the temperature of a cup of coffee, the mass of the Milky Way Galaxy.
Note:ESEMPI

Yellow highlight | Location: 2,711

properties of concrete objects.
Note:MAGNITUDO

Yellow highlight | Location: 2,713

refers to a dimension
Note:Ccccc

Yellow highlight | Location: 2,714

refers to a particular value
Note:Ccccccc

Yellow highlight | Location: 2,717

Magnitude values are represented using real numbers. The magnitudes, however, are not themselves numbers.
Note:M E N

Yellow highlight | Location: 2,718

The Eiffel Tower is approximately 324 meters tall, which is to say about 1063 feet tall. If the height of the Tower is a number, which one is it? Is it around 324, or around 1063?
Note:QUI FREGE HA RAGIONE

Yellow highlight | Location: 2,722

the number that we use to represent the height of the Tower is not a property of the tower. But the height is a property of the tower. So the height is not a number.
Note:ALTEZZA E NUMERO

Yellow highlight | Location: 2,724

9.7.2   Real numbers as relationships
Note:Tttttttt

Yellow highlight | Location: 2,724

What, then, is a real number?
Note:PRIMA AVEVAMO DEFINITO I N NATURALI COME UNA PROP DEGLI OGGETTO...ORA DEFINIREMO I REALI COME UNA RELAZIONE...I NUMERI QUANDO ESPRIMONO UN UNITÀ DI MISURA

Yellow highlight | Location: 2,727

start with how we use real numbers to describe the world.
Note:PROCEDIMENTO

Yellow highlight | Location: 2,727

Eiffel Tower is 324 meters tall.
Note:2

Yellow highlight | Location: 2,728

‘324’ records a relationship between the height of the Tower and a unit,
Note:ALTEZZA E METRI

Yellow highlight | Location: 2,732

The metaphysical background is that magnitude values come in classes that are comparable to each other.
Note:CONFRONTABILITÀ XFETTA

Yellow highlight | Location: 2,736

When a magnitude is greater than another magnitude, this greaterness comes in degrees.
Note:NUMERI E MAGNITUDO

Yellow highlight | Location: 2,744

9.7.3   In defense of the bifurcated account of number
Note:Tttttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,748

‘324 is a real number, since an object could be exactly 324 times as long as the standard meter. 324 is also a natural number. But on your account, a natural number is a property, whereas a real number is a relationship.
Note:OBIEZIONE DELLA BIFORCAZIONE

Yellow highlight | Location: 2,751

It turns out that there are two numbers 324: the cardinal number and the real number.
Note:RISPOSTA

Yellow highlight | Location: 2,756

Now you might wonder: why not take a uniform view of cardinal numbers and real numbers?
Note:DUBBIO

Yellow highlight | Location: 2,758

Frege’s deck-of-cards problem by saying that the same physical aggregate is differently related to two different units: it bears the ‘52-fold’ relationship to the unit ‘card’, while bearing the ‘one-fold’ relationship to the unit ‘deck’.
Note:SOLUZIONE SEMPLICE

Yellow highlight | Location: 2,762

The relationship theory requires that there be an object to be the first relatum, that is, the thing that is supposed to stand in a relationship to a unit.
Note:INCONVENIENTE

Yellow highlight | Location: 2,768

suppose there are seven reasons for being suspicious of set theory.
Note:DOV È QUI L OGGETTO?

Yellow highlight | Location: 2,769

an object that has each of the seven reasons as parts?
Note:L OGGETTO MISTERIOSO....SETTE RAGIONI SETTE METRI

Yellow highlight | Location: 2,783

9.7.4   Measures and magnitudes
Note:Tttttttttttttrr

Yellow highlight | Location: 2,784

measure theory,
Note:BRANCA DELLA MATEMATICA

Yellow highlight | Location: 2,818

9.7.5   Intensive vs. extensive magnitudes
Note:Tttttttt

Yellow highlight | Location: 2,820

Extensive magnitudes are those that are additive across the parts of an object.
Note:ESTENSIVE

Yellow highlight | Location: 2,822

the magnitude values of all of these parts will contribute additively to the magnitude value of the whole.
Note:Ccccccccccc

Yellow highlight | Location: 2,823

length is an extensive magnitude.
Note:ESEMPIO

Yellow highlight | Location: 2,824

Similarly for volume:
Note:ALTRO ESEMPIO

Yellow highlight | Location: 2,827

Intensive magnitudes, by contrast, are magnitudes that do not arise from adding together the magnitudes of the parts of an object,
Note:INTENSIVE

Yellow highlight | Location: 2,828

For example, the temperature
Note:ESEMPIO

Yellow highlight | Location: 2,831

There may be ambiguous cases. Consider the property of mass.
Note:A METÀ

Yellow highlight | Location: 2,839

9.7.6   Natural vs. artificial magnitudes
Note:Ttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,841

schmass of an object is defined to be the reciprocal of 3 minus the object’s mass in kilograms:
Note:MAGNITUDO INVENTATA...SI PUÒ

Yellow highlight | Location: 2,846

I will soften that a bit and simply call schmass an ‘artificial’ magnitude,
Note:ARTIFICIALE

Yellow highlight | Location: 2,848

As a first approximation, I will take causal efficacy as the test of naturalness.
Note:SEMPLICITÀ

Yellow highlight | Location: 2,863

9.8   Indexing uses of numbers
Note:Ttttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,865

suppose you are in a hotel, in room 210.
Note:NUMERO INDICE

Yellow highlight | Location: 2,866

indicating that there are 210 of something;
Note:NUMERO NATURALE?

Yellow highlight | Location: 2,866

indicating that something is 210 times greater than
Note:NUMERO REALE?

Yellow highlight | Location: 2,868

‘210’ is simply being used as a name for that room.
Note:USO IN QS CASO

Yellow highlight | Location: 2,870

a number term being used in a way that does not really refer to a number.
Note:CONCLUSIONE

Yellow highlight | Location: 2,892

This is what I refer to as an indexing use of numbers. In an indexing use, some number is used as a name for a more or less arbitrary item or value,
Note:INDEXING

Yellow highlight | Location: 2,903

9.9.1   Rational vs. irrational numbers
Note:Tttttttt

Yellow highlight | Location: 2,911

9.9.2   Negative numbers
Note:Ttttttt

Yellow highlight | Location: 2,924

9.9.3   Imaginary numbers
Note:Ttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,926

x2 = −1’.
Note:NUMERI IMMAGINARI

Yellow highlight | Location: 2,929

One cannot conjure such a number into existence just by fiat, as the standard approach seems to suppose. Trying to solve the equation ‘x2 = −1’ by inventing a new number is like trying to solve the equation ‘x + 1 = x’ by inventing a new number,
Note:DIFFICILI DA CONCEPIRE

Yellow highlight | Location: 2,943

9.9.4   Infinitesimal numbers
Note:Tttttt

Yellow highlight | Location: 2,944

An infinitesimal number is a number that is smaller than any positive real number but yet greater than zero.
DEF @@@@@@@@@

8 Sets HL

8 Sets
Note:8@@@@@@

Yellow highlight | Location: 2,272

8.1   Sets are not collections
Note:Tttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,273

According to the now-standard view developed by the likes of Cantor, Frege, and Russell, all of mathematics is based on set theory.
Note:STANDARD VIEW

Yellow highlight | Location: 2,276

The most common explanation given is that a set is simply a collection or group.
Note:DEF....POCO CHIARA PER H

Yellow highlight | Location: 2,280

It is uncontroversial in set theory that there is an ‘empty set’, a set with no members. What collection is this supposed to be?
Note:ESEMPIO CHE CONTRADDICE

Yellow highlight | Location: 2,282

It is uncontroversial in set theory that there are singleton sets,
Note:ALTRO ES CONTRADDITTORIO

Yellow highlight | Location: 2,286

It is again uncontroversial in set theory that there are infinitely many ‘pure sets’, that is, sets that are constructed, from the ground up, using no objects other than sets.
Note:ALTRO ES PROBLEMATICO

Yellow highlight | Location: 2,290

there are infinitely many infinite collections built up from nothing but other collections,
Note:ANALOGIA NONSENSE

Yellow highlight | Location: 2,297

In set theory, sets are typically understood as abstract, non-physical objects, even when their members are physical.
Note:ALTRO ELEMENTO PROBLEMATICO

Yellow highlight | Location: 2,300

a deer might be killed by a pack of wolves, but no deer is killed by an abstract object;
Note:ANALOGIA CHE CONFUTA

Yellow highlight | Location: 2,307

My reason for skepticism about set theory is not anything to do with ‘simplicity’ or ‘weirdness’,
Note:TUTTAVIA

Yellow highlight | Location: 2,310

I am saying we should be skeptical because no one has been able to explain
Note:PIUTTOSTO

Yellow highlight | Location: 2,311

8.2   Sets are not defined by the axioms
Note:Tttttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,313

sets are simply the things that satisfy those axioms.
Note:ALTRA SPIEGA POPOLARE

Yellow highlight | Location: 2,315

I don’t see that there is in reality anything having the characteristics mentioned in points (i)–(v) above.
Note:ASTRAZIONI MA NN IMMANENTI

Yellow highlight | Location: 2,316

Second, the claim that the axioms of set theory define the term ‘set’ is refuted by a famous result in model theory: the Löwenheim-Skolem Theorem.
Note:QUANTO ALLA SECONDA DEFINIZIONE

Yellow highlight | Location: 2,348

8.3   Many regarded as one: the foundational sin?
Note:Tttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,349

‘A set is a many which allows itself to be thought of as a one.’
Note:LA DEF DI CANTOE

Yellow highlight | Location: 2,351

this rules out the empty set,
Note:PRIMO

Yellow highlight | Location: 2,352

It also rules out singletons, since a single object isn’t a many either.
Note:ALTRA LACUNA

Yellow highlight | Location: 2,354

assume we have two or more objects. Cantor’s suggestion appears to be that (at least in most cases), it is permissible to regard these objects as one.
Note:MA CONCEDIAMO PURE...

Yellow highlight | Location: 2,356

Two does not equal one,
Note:Cccccc

Yellow highlight | Location: 2,358

When we form the set {a, b}, we do not literally treat the two objects as one – we do not find ourselves saying that a = b. Rather, we treat {a, b} as a third thing,
Note:PIUTTOSTO

Yellow highlight | Location: 2,375

8.4   The significance of the paradoxes
Note:Tttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,376

Naive Comprehension Axiom
Note:COS È

Yellow highlight | Location: 2,377

for any well-formed predicate, there is a set of the things that satisfy it.
Note:ESEMPIO DI PREDICATO: È ROSSO

Yellow highlight | Location: 2,379

this axiom generates both Russell’s Paradox and Cantor’s Paradox.
Note:PURTROPPO

Yellow highlight | Location: 2,379

there is something wrong with the notion of a set.
Note:CONCLUSIONE

Yellow highlight | Location: 2,383

If a concept generates paradoxes, that is generally a reason for thinking it an invalid concept.
Note:DICIAMOLO CHIARAMENTE

Yellow highlight | Location: 2,386

If the foundational intuitions on the basis of which some objects were initially introduced are proven to be contradictory, this removes the central reason we had for believing in those objects.
Note:CRITICA RADICALE

Yellow highlight | Location: 2,396

the term ‘set’, according to modern set theory, has no associated set – there is no set of all the things it applies to, since that would have to be the set of all sets. Therefore, it seems, the term ‘set’ is meaningless.
Note:IL PARADOSSO DECISIVO

Yellow highlight | Location: 2,404

8.5   Are numbers sets?
Note:Tttttttt

Yellow highlight | Location: 2,406

If we reject sets, won’t we have to give up the rest of mathematics?
Note:VISTO CHE OGGI L INSIEMISTICA È IL FONDAMENTO DELLA MATEMATICA

Yellow highlight | Location: 2,408

The number zero is just the empty set. The number one is the set of all sets that are equinumerous with {0}, where two sets are defined to be ‘equinumerous’ if and only if there exists a one-to-one function from either set onto the other. The number two is the set of all sets that are equinumerous, in that same sense, with {0,1}.
Note:LA FONDAZIONE RUSSELIANA DEI NUMERI...GRAZIE AGLI INSIEMI

Note | Location: 2,410

LA FONDAZIONE VINSIEMISTICA DELL ARITMETICA DI VRUSSELL

Yellow highlight | Location: 2,416

let me explain fractions.
Note:MEGLIO DI NO!!!!!

Yellow highlight | Location: 2,439

the constructions are wildly implausible on their face
Note:CONCLUSIONE

Yellow highlight | Location: 2,442

If Cantor, Russell, et al., are merely saying, ‘Here are some objects that have the same formal properties as the number system (because I deliberately constructed them that way)’, I suppose this might be mildly interesting. But it hardly justifies claims to have identified the foundation of mathematics.
Note:COROLLARIO

Yellow highlight | Location: 2,444

8.6   Set theory and the laws of arithmetic
Note:Ttttttttt

Yellow highlight | Location: 2,446

+ b = b + a    (Commutative Law of
Note:ESEMPIO DI LEGGI ARITMETICHE

Yellow highlight | Location: 2,453

How do we know these things? Here is one answer: because they can be derived using one of the set-theoretic constructions for the numbers.
Note:ORIGINE ALTAMENTE IMPROB. DELLE LEGGI AROTMETICHE X RUSSELL

Yellow highlight | Location: 2,454

This answer is crazily implausible.
Note:GIUDIZIO

Yellow highlight | Location: 2,454

Derivations using set theoretic constructions tend to be complex and difficult to follow; it is much harder to see that they are correct than it is to see that the above laws are correct.
Note:DI FATTO

Yellow highlight | Location: 2,457

When someone wants to argue that we ‘can construe’ the numbers 0, 1, 2, ... as the sets ∅, {∅}, {∅, {∅}}, ... , they do this by arguing that those sets have the formal properties of the natural numbers – that is, the properties that we already know the numbers have.
Note:PIÙ PROBABILE L OPPOSTO: L INSIEMISTICA QUADRA XCHÈ COSTRUITA SUI NUMERI

Yellow highlight | Location: 2,462

‘Let us try, therefore, whether we can derive from our definition [ ... ] any of the well-known properties of numbers.’
Note:LE PAROLE CON CUI FREGE SI TRADISCE...LE WELL KNOWN PROPERTY

Yellow highlight | Location: 2,466

it directly and obviously entails that what they are working on is not actually the foundations of mathematics, since the propositions that they seek to derive are known prior to and (epistemically) independently of the derivations.
Note:QUEL CHE SI VORREBBE DIMOSTRARE È GIÀ NOTO PRIMA COME CERTO...ED È QS CCERTEZZA CHE XAVVALORA LA DIMOSTRAZ

Yellow highlight | Location: 2,472

‘Perhaps the set theoretic constructions explain, not how we come to know the truths of arithmetic, but rather what makes them true.
Note:UNO È TENTATO DI DIRE

Yellow highlight | Location: 2,474

there is no plausible way in which we could know those facts independently of knowing anything about set theory.
Note:MA ANCHE QS È IMPLAUSIBILE

Yellow highlight | Location: 2,476

there is no plausible way in which people could have known that without knowing any set theory and without doing any derivations using it.
Note:TRADOTTO...

Yellow highlight | Location: 2,477

Conclusion: set theory is not the foundation of arithmetic,
CONCLUSIONE @@@@@@@@

L’ECCESSIVO RISPETTO PER LA SCIENZA

Riccardo Mariani

Adesso · 

L’ECCESSIVO RISPETTO PER LA SCIENZA
La scienza ha un problema con la filosofia che meglio la sostiene: il positivismo.
Da un lato il positivismo sopravvaluta la scienza: la logica induttiva, ovvero la logica della scienza, non è affatto una logica affidabile, inoltre le ipotesi scientifiche non sono mai verificabili (disgiuntamente).
Dall’altro sottovaluta gli altri saperi: i sensi fisici non sono certo le uniche fonti di conoscenza non arbitraria. Negare ostinatamente che molta della nostra conoscenza si fondi su giudizi sintetici a priori sembra pretenzioso.

L’arbitrario primato dei sensi SAGGIO

L’arbitrario primato dei sensi

Philosophical Preliminaries. Appunti nel corso della lettura del capitolo 7 di “Approaching Infinity” di Michael Huemer.

• Il positivista non pensa possa esserci una reale conoscenza del mondo se non in base a Tutte le realtà non osservabili sono per lui letteralmente senza senso, il che comporta la liquidazione di interi settori del sapere tradizionale come teologia, metafisica e etica.
• Il positivismo è una filosofia contradditoria poiché la veridicità dell’assunto fondamentale di cui sopra non è osservabile quindi, per la stessa filosofia che lo professa, falso o senza senso.
• Peter Van Inwagen definisce in soldoni il positivismo come un eccessivo rispetto per la scienza: solo la scienza conosce. Per Hume (capostipite dell’empirismo) tutti i libri che non contengono matematica e scienza possono essere bruciati senza danno per l’uomo. Il positivismo oggi barcolla tuttavia resta influente, magari in modo inconscio,. E’, per esempio, alla base di teorie come la meccanica quantistica (interpretata come fisica indeterminata), la teoria della relatività (interpretata come reversibilità del tempo) o il formalismo matematico (una filosofia antirealista della matematica). Molti, che respingerebbero il positivismo se posti esplicitamente di fronte a questa opzione, poi adottano interpretazioni positiviste di queste teorie, da qui l’opinione per cui l’empirismo detti ancora l’agenda occulta dei lavori, specie nel mondo anglosassone.
• Conservatorismo fenomenico (CF): l’apparenza fino a prova contraria giustifica razionalmente una credenza. Ecco un primo concetto per sottrarsi all’imperio positivista. Ci sono apparenze sensoriali (guardo dalla finestra e vedo uno scoiattolo), mnemoniche (ieri sono caduto dalla bicicletta) e razionali (il numero tre esiste). Ebbene, non esiste alcuna base razionale per dare il primato ai sensi (come vorrebbe fare il positivista).
• Chi accetta il conservatorismo fenomenico accetta l’esistenza dei giudizi sintetici a priori (GSA) (una realtà rigettata dai positivisti e di cui si discute da tre secoli). Un tale giudizio è vero a priori ma la sua negazione – contrariamente ai giudizi analitici – non comporta una contraddizione. Esiste il numero 3? Noi diciamo di sì senza bisogno di ricorrere all’osservazione, ma qualora qualcuno lo negasse probabilmente sbaglierebbe ma non incorrerebbe in contraddizioni di sorta.
• Esempi di giudizi sintetici a priori: un oggetto non puo’ essere tutto rosso e tutto blu; meglio essere felici che tristi; è immorale uccidere o tormentare l’innocente; il presente precede il futuro; non esiste uno spazio a 8 dimensioni; ogni evento è causato da un altro evento; se A è dentro B che è dentro C allora anche A è dentro C; il bianco è più simile al rosa pallido che al blu; il numero tre esiste; sono in libero, almeno in parte; una cosa o è vera o non lo è; Dio esiste (o non esiste). Numeri, spazio, colori, etica, causalità, probabilità, teologia, psicologia… i GSA coinvolgono molte aree del sapere, liquidarli come insensati è quantomeno azzardato.
• Perché questi giudizi sono sintetici? Perché negarli non comporta contraddizione, esempio: non esiste un definizione di rosso e verde, i due colori vengono “definiti” solo indicandoli (per ostensione), in questo senso se qualcuno mi indicasse un oggetto contemporaneamente rosso o verde la mia intuizione sarebbe smentita senza per questo che si realizzi una contraddizione. Ma perché sono a priori? Qui la cosa migliore è ricorrere ad un noto esperimento mentale: dalla nascita qualcuno vi tiene addormentati inducendo in voi dei sogni; quando vi svegliate vi viene rivelato che tutta la vostra esperienza sino ad oggi non è reale ma indotta e manipolata. Ecco, ciononostante, anche sapendo che la vostra esperienza non è reale, continuerete a credere che un oggetto completamente rosso non potrà mai essere completamente verde, il che testimonia come l’esperienza stessa abbia un ruolo del tutto secondario secondario in questa credenza. Detto in altri termini: si tratta di un giudizio a priori.
• Il positivismo vince o perde sulla questione dei GSA. La fonte dei GSA è l’intuizione razionale giustificata dal conservatorismo fenomenico. Si puo’ dire che la miglior alternativa al positivismo sia la filosofia del buon senso (padre putativo Thomas Reid): i sensi non hanno il monopolio della giustificazione, anche memoria e intuizione razionale, per esempio, hanno pari valore epistemologico.
• Un altro vulnus del positivismo logico sono i paradossi logici a cui soggiace. Attraverso i GSA, in particolare grazie al concetto di “impossibilità metafisica” (IM) sarebbe possibile superarli, ma questi sono concetti tabù per il positivista. Una proposizione è “logicamente impossibile” se contraddittoria mentre è “metafisicamente impossibile” se inconcepibile. Il positivista si adatta obtorto collo alla prima impossibilità ma non alla seconda, per lui sarebbe concedere troppo all’apriorismo. Si noti l’ IM non è legata alla violazione di leggi della natura, noi, infatti, potremmo anche “concepire” un universo con leggi newtoniane.
• La fantascienza ci aiuta meglio a capire il concetto di IM: quando diciamo che un film di fantascienza è brutto? Quando è inverosimile, ovvero difficile da concepire. Un film in cui il tempo è reversibile, per molti è brutto. Un film di fantascienza in cui non esiste legge di gravità invece non crea obiezioni. Nessuno capisce la meccanica quantistica MQ perché nella sua interpretazione attuale è “inconcepibile”, cosicché un film di fantascienza governato da leggi quantistiche risulterebbe ai più brutto. Un film in cui si vive in uno spazio ad 8 dimensioni è brutto perché noi non riusciamo a concepire uno spazio a 8 dimensioni.
• Tra GSA e IM il legame è evidente: ritenere che un oggetto non possa essere completamente bianco e allo stesso tempo completamente rosso significa esprimere sia un GSA che una IM. Negare questa verità, del resto, non significa cadere in contraddizione: potremmo farci sopra un film di fantascienza ma sarebbe un brutto film. Concetti come GSA e IM sono tabù per l’empirista.
• Tesi del libro: molti paradossi legati al concetto di infinito possono essere risolti adottando il concetto di IM (e quindi sdoganando i GSA). Questa via, ovviamente, comporta il rigetto del positivismo come filosofia della scienza, che in effetti è impotente contro simili paradossi. Il positivista si appiattisce sulla mera logica snobbando cio’ che è inconcepibile: tutto è concepibile se non dimostrato falso dall’osservazione, ma la mancanza di una simile dimostrazione è irrilevante per il buon senso del CF che accetta le apparenze fino a prova contraria. Per il positivista l’apparenza puo’ essere chiara finché si vuole, tutto va dimostrato per essere giustificato e in assenza di una dimostrazione ogni apparenza – che non sia quella dei sensi – va rifiutata.
• Da quanto detto capiamo che esperienza e testabilità fattuale sono concetti ben diversi: le nostre esperienze sono zeppe di semplici “apparenze” che vanno poi testate. Tra i fatti (che appaiono) e il positivismo c’è quindi un continuo conflitto. Il positivismo non è affatto la filosofia che mette al centro i fatti ma la filosofia che mette al centro i sensi.
• Cos’è la matematica? Per la filosofia del buon senso è cio’ che appare: un corpo di conoscenze a priori – in parte sintetiche in parte analitiche. Per il positivista invece è una manipolazione convenzionale di simboli. Il fatto è che per tutti noi la matematica appare così com’è in modo del tutto naturale e non c’è bisogno di aderire ad alcuna convinzione per capirla. Per tutti noi la matematica non è un’invenzione arbitraria dell’uomo: è quella che è, ed è così per tutti. La chiarezza e l’accordo universale che si realizza nel mondo matematico non deriva da una mega convenzione stipulata tra gli studiosi ma molto più probabilmente dal fatto che la matematica è quella roba lì e “appare” a tutti nella stessa maniera, anche a chi non intende stipulare convenzioni di sorta.  Come esce da questo imbarazzo il positivista? Sempre alla stessa maniera: si tratta di apparenze indimostrabili, quindi siamo liberi di credere quel che più ci fa comodo e in questo caso l’approccio formalista ci fa comodo perché non ricorre ai GSA e alle apparenze.